ECONOMY MANAGERIAL (CHAPTER III)

BAB III

LINIER PROGRAMMING (METODE GRAFIK)

Setelah dapat membuat Model Matematika (merumuskan) persoalan Program Linier, maka untuk menentukan penyelesaian Persoalan Program Linier dapat menggunakan 2 metode, yaitu: Metode Grafik dan Metode Simpleks.

Catatan: Metode Grafik hanya dapat digunakan dalam pemecahan masalah program linier yang ber “dimensi” : 2 x n atau m x 2, karena keterbatasan kemampuan suatu grafik dalam “menyampaikan” sesuatu (sebenarnya grafik 3 dimensi dapat digambarkan, tetapi sangat tidak praktis).

FUNGSI TUJUAN MAKSIMISASI

FORMULASI PERMASALAHAN

Metode grafik hanya bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana hanya terdapat dua variabel keputusan. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, langkah pertama yang harus dilakukan adalah memformulasikan permasalahan yang ada ke dalam bentuk Linear Programming (LP). Langkah-langkah dalam formulasi permasalahan adalah :

1.   Indentifikasi variabel keputusan

2.   Indentifikasi fungsi obyektif

3.   Identifikasi kendala-kendala

4.   Menggambarkan bentuk grafik dari semua kendala

5.   Indentifikasi daerah solusi yang layak pada grafik

6.   Menggambarkan bentuk grafik dari fungsi obyektif dan menentukan titik yang  memberikan nilai obyektif optimal pada daerah solusi yang layak.

7.   Mengartikan solusi yang diperoleh

Contoh Soal :

“PT. Rakyat Bersatu” menghasilkan 2 macam produk. Baik produk I maupun produk II setiap unit laku Rp. 3000,-. Kedua produk tersebut dalam proses pembuatannya perlu 3 mesin. Produk I perlu 2 jam mesin A, 2 jam mesin B, dan 4 jam mesin C. Produk II perlu 1 jam mesin A, 3 jam mesin B, dan 3 jam mesin C. Tersedia 3 mesin A yang mampu beroperasi 10 jam per mesin per hari, tersedia 6 mesin B yang mampu beroperasi 10 jam per mesin per hari, dan tersedia 9 mesin C yang mampu beroperasi 8 jam per mesin per hari. Berikan saran kepada pimpinan “PT. Rakyat Bersatu” sehingga dapat diperoleh hasil penjualan yang maksimum ! Dan berapa unit produk I dan produk II harus diproduksi ?

* Tabel 1

Jawab:

Langkah Pertama (Identifikasi Variabel Keputusan)

          Misalkan:    produk I = X₁

                             produk II =X₂

2.     Langkah Kedua (Identifikasi Fungsi Obyektif/Tujuan)

                   Max Z = 3000 X₁ + 3000 X₂

3.     Langkah Ketiga (Identifikasi Kendala-Kendala) *Lihat tabel 1.  

                        2X₁ + X₂ ≤ 30 ...........i)

                   2X₁ + 3X₂ ≤ 60 ..........ii)

                   4X₁ + 3X₂ ≤ 72 .........iii)

                   X₁ ≥ 0; X₂ ≥ 0 (Syarat Non Negatif)

4.     Langkah Keempat (Menggambarkan Bentuk Grafik)

a)     Untuk persamaan 2X₁ + X₂ = 30 ….. (i)

   2X₁ + X₂ = 30

     X₂ = 0, X₁ = 15

     X₁ = 0, X₂ = 30

          didapat titik potong = (15 , 30)

b)    Untuk persamaan 2X₁ + 3X₂ = 60 ....(ii)

  2X₁ + 3X₂ = 60

    X₂ = 0, X₁ = 30

    X₁ = 0, X₂ = 20

          didapat titik potong = (30 , 20)

c)     Untuk persamaaan 4X₁ + 3X₂ = 72 ....(iii)

   4X₁ + 3X₂ = 72                 

     X₂ = 0, X₁ = 18

     X₁ = 0, X₂ = 24

          didapat titik potong = (18 , 24)

*Lihat grafik 1.

5.     Langkah Kelima (Identifikasi Daerah Solusi yang Layak)

 Titik-titik yang layak memenuhi semua keterbatasan sumber daya tersebut berada di daerah bergaris pada Gambar grafik tersebut. Daerah yang layak ini dikelilingi oleh titik-titik pojok (titik ekstrim) 0, A, B, C, D.

6.    Langkah Keenam (Menentukan Titik Yang Memberikan Nilai Obyektif Optimal Pada Daerah Solusi Yang Layak)

          Jadi daerah yang memenuhi ke-5 daerah tersebut terletak di dalam daerah yang dibatasi oleh titik-titik O(0,0), A(15,0), D(0,20), titik B yaitu titik potong antara garis 2X₁ + X₂ = 30 dan garis 4X₁ + 3X₂ = 72 , dan titik C adalah titik potong antara garis 2X₁ + 3X₂ = 60 dan garis 4X₁ + 3X₂ = 72.

Titik B perpotongan antara garis 2X₁ + X₂ = 30 dan garis 4X₁ + 3X₂ = 72, dengan mengeliminasi X₁, dapat dihitung :

2X₁ + X₂ = 30 |*2          →      4X₁ + 2X₂ = 60 ........i)

4X₁ + X₂  = 72 |*1           →      4X₁ + 3X₂ = 72 ….....iii)

                                               __________________ -

                                                - X₂ = - 12 à X₂ = 12

 

                                              X₁ = 9    maka titik B adalah (9,12)

Titik C perpotongan antara garis 2X₁ + 3X₂ = 60 dan garis 4X₁ + 3X₂ = 72, dengan mengeliminasi X₂, dapat dihitung :

                   2X₁ + 3X₂ = 60 ............i)

                   4X₁ + 3X₂ = 72 ............iii)

                   ____________________ -

                   - 2X₁ = - 12 à X₁ = 6

                                  à X₂ = 16       maka titik C adalah (6,16)  

Jadi  titik-titik sudutnya adalah : O(0,0), A(15,0), B(9,12), C(6,16), dan D(0,20).

Penyelesaian dari soal diatas adalah menghitung nilai fungsi sasaran (Z = 3000 X₁ + 3000 X₂) di setiap titik sudut-titik sudut Daerah yang Memenuhi Kendala, sehingga:

• Titik O (0,0) à Z (0,0) = 3000.(0) + 3000.(0) = 0,
• Titik A (15,0) à Z (15,0) = 3000.(15) + 3000.(0) = 45.000
• Titik B (9,12) à Z (9,12) = 3000.(9) + 3000.(12) = 63.000
• Titik C (6,16) à Z(6,16) = 3000.(6) + 3000.(16) = 66.000
• Titik D (0,20) à Z(0,20) = 3000.(0) + 3000.(20) = 60.000

7.     Langkah Ketujuh (Mengartikan Solusi yang diperoleh)

Fungsi Tujuan adalah mencari nilai maksimumnya sehingga nilai yang sesuai adalah :

Terletak pada titik C(6,16)

Dengan nilai fungsi tujuannya Rp. 66.000,00

         

Sehingga agar diperoleh laba yang maksimum maka Pimpinan ”PT. Rakyat Bersatu” harus memproduksi :

Produk I sebanyak 6 unit dan

Produk II sebanyak 16 unit

sehingga mendapat laba maksimum sebesar Rp.66.000,00

 

Grafik 1

Sumber:

http://syahsoza.blogspot.com/2012/04/metode-grafik.html